원 부채꼴, 원기둥, 원뿔, 구까지 길이, 넓이, 부피 공식 한 번에 다 정리

원 부채꼴, 원기둥, 원뿔, 구까지 길이, 넓이, 부피 공식 한 번에 다 정리

뿔의 부피는 기둥의 13, 구의 부피는 원기둥의 23입니다. 다. 외우려하지말고 차근히 생각할 수 있게 해주세요. 동그란 형태의 스타트 원입니다. 원에서는 원의 한바퀴 둘레의 길이인 원주, 그리고 원의 넓이를 구출하는 공식을 배우게 됩니다. 원주는 지름에 원주율을 곱하게 되는데, 이 부분은 지름과 원주의 길이를 측정하면 일정한 비율을 유지해야만 되는 데에서 나온 공식입니다. 원의 넓이는 이 원주를 활용합니다. 원을 반으로 나누어 아래와 같이 더 잘게 쪼개보면, 사각형 모양으로 맞춰볼 수 있습니다.

조각을 작게 나눌수로 직사각형에 가까워집니다.

원기둥의 전개도

다른 각기둥의 전개도보다. 원기둥의 전개도는 더 쉽습니다. 삼각기둥, 사각기둥, 오각기둥. 다른 각기둥은 밑면의 모양이 정삼각형이냐, 직각삼각형이냐, 이등변삼각형이냐를 생각하면서, 각 변의 길이를 구해 옆면을 그리는 등 어려울 수도 있습니다. 하지만, 원기둥은 밑면이 원입니다. 원에서는 반지름의 길이만 생각하면 됩니다.

원기둥은 밑면 원의 반지름, 그리고 기둥의 높이값이 있는데, 이같은 경우애 옆면을 만드는 직사각형의 가로길이는 밑면의 원주길이와 같아야 합니다.

밑면이 직사각형인 사각기둥의 부피

다음은 직사각형과 정사각형입니다. 이 두 사각형은 내각이 90도로 직각을 완수하고 있기에 넓이 계산이 쉽습니다. 직사각형의 가로가 a, 세로가 b라면, 넓이는 가로와 세로의 곱인 ab, 즉 ab입니다. 이 직사각형이 높이 D를 갖는 사각기둥이 되었다면, 이 사각기둥의 부피는 앞에서 계산한 밑면 넓이 ab에 D를 곱해주면 됩니다. 정사각형의 경우, 가로의 길이와 세로의 길이가 같다는 점을 제외하고는 직사각형과 동일합니다.

b 대신 a가 들어가면 됩니다. 예제 밑면의 가로 길이가 5cm, 세로 길이가 3cm, 그리고 높이가 5cm 인 각기둥의 부피를 구하시오. >>> 투시도에서 표시한 밑면의 넓이를 먼저 구해줍니다.

밑면이 사다리꼴인 사각기둥의 부피

사다리꼴은 한쌍의 대변이 평행한 사각형입니다. 삼각형이 아닌데 12을 곱해주는 사다리꼴의 넓이는 사각형의 넓이 중에서 아그들이 제일 어려워하는 부분입니다. 다음 2가지 사다리꼴의 예시에서처럼 사다리꼴의 넓이를 구하기 위해서는 합동인 가상의 사다리꼴을 하나 더 만들어 붙여놓고 생각합니다. 사다리꼴을 하나 더 만들어 붙여보시면 평행사변형이 되는 것을 활용합니다. 평행사변형의 넓이 구출하는 방법은 앞에서 살펴본 것처럼 밑변과 높이의 곱이므로, 사다리꼴의 평행한 두변의 길이 a, b를 합한 것이 평행사변형의 밑변이 되게 됩니다.

다만, 사다리꼴을 2개로 놓고 계산했으므로, 12을 곱해주는 것입니다. [예제] 다음과 같은 사다리꼴을 밑면으로 하고, 이 밑면을 높이 10의 각기둥으로 만들었을때의 부피를 구하시오. 사다리꼴의 넓이를 먼저 구해야합니다.

예제 아래 곡선들로 둘러싸인 영역을 x 2 에 대하여 한 바퀴 회전시킨 회전체의 부피를 구하여라 위 영역을 x 2에 대하여 회전시킨 회전체의 부피는 다음과 같습니다.

예제 3과 비슷하게 중심부의 빈 공간을 빼주어야 합니다. 예제 아래 곡선들로 둘러싸인 영역을 x축에 대하여 한 바퀴 회전시킨 회전체의 부피를 구하여라

위 영역을 x축에 대하여 회전시킨 회전체의 부피는 다음과 같습니다.

밑면이 평행사변형인 사각기둥의 부피

밑면의 모양이 평행사변형이어도 이 밑면모양으로 만들어진 사각기둥의 부피 구출하는 공식은 밑면의 넓이각기둥의 높이입니다. 다면, 밑면의 넓이를 구출하는 방식이 앞의 직사각형보다. 복잡할 수 있습니다. 평행사변형의 밑면의 넓이를 구출하는 방법은 어떤 값이 주어졌느냐에 따라 난이도가 달라질 수 있습니다. 아래의 평행사변형에서처럼, 밑변 a와 높이 h가 주어졌을때 가장 쉽습니다. 평행사변형의 넓이는 직각삼각형의 합동을 적용하여 아래 표시한 두 직각삼각형이 합동이므로 밑변 a와 높이 h인 직각사각형의 넓이와 같습니다.

높이 h 대신, 기울어진 변 b와 끼인각 x를 알고 있다면야 삼각비를 이용해야합니다. 하지만, 이 경우 초중등범위에서는 30도, 45도, 60도 등 특정값만 활용합니다.

반지름 r인 구의 겉넓이와 부피

구의 겉넓이와 부피는 고등에서 적분으로 확인하는 과정 과거에는 개념설명으로 진행합니다. 반지름의 길이가 r인 구의 겉면을 끈으로 감은 후 그 끈을 평면 위에 감아 원을 만들면 반지름의 길이가 2r가 됩니다. 즉, 반지름의 길이가 r인 구의 겉넓이는 반지름의 길이가 2r인 원의 넓이와 같으므로 구의 겉넓이를 구출하는 공식은 다음과 같습니다. 반지름의 길이가 r인 구의 부피를 V라고 하면 구가 꼭 맞게 들어가는 원기둥 모양의 그릇에 물을 가득 충족시키고 구를 물 속에 완전히 잠기도록 넣었다가 뺄 때, 구의 부피는 넘쳐 흐른 물의 부피와 같습니다.

그래서 구의 부피는 원기둥 부피의 23로 계산합니다.

자주 묻는 질문