원기둥은 각기둥과 다른가요 전개도를 살펴보고 겉넓이과 부피 공식을 생각해봐요
각기둥은 위와 아래에 있는 면이 서로 평행이고 합동이며, 옆면이 사각형인 기둥 모양의 입체도형으로 바닥면의 모양을 기준으로 삼각기둥, 사각기둥 등, 바닥면의 모양이 N각형이라면, N각기둥으로 부릅니다. 이때 N의 값이 무한히 커지면 어떻게 될까요? 다음 예시처럼, 팔각형, 십각형, 십이각형 등 N값이 무한히 커질때 원의 모양이 되는 것으로 확장하여 생각해봅니다. 원기둥은 각기둥과 같이 위와 아래에 있는 면이 서로 평행이고, 이때 그 면이 합동인 원입니다.
한가지 더 주의할 것은 각기둥에서 옆면이 사각형 모양이라는 부분이 있었지만 원기둥은 잘게 쪼개진 무수히 많은 사각형모양이 모여 옆면을 만들고 있습니다. 그렇기 때문에, 다음 예시와 같이 위와 아래에 있는 면의 평행과 합동만으로는 원기둥이 아닌 입체도 생각할 수 있으니 주의해야합니다.
원기둥의 전개도
다른 각기둥의 전개도보다. 원기둥의 전개도는 더 쉽습니다. 삼각기둥, 사각기둥, 오각기둥. 다른 각기둥은 밑면의 모양이 정삼각형이냐, 직각삼각형이냐, 이등변삼각형이냐를 생각하면서, 각 변의 길이를 구해 옆면을 그리는 등 어려울 수도 있습니다. 하지만, 원기둥은 밑면이 원입니다. 원에서는 반지름의 길이만 생각하면 됩니다.
원기둥은 밑면 원의 반지름, 그리고 기둥의 높이값이 있는데, 이때 옆면을 만드는 직사각형의 가로길이는 밑면의 원주길이와 같아야 합니다.
예제 아래 곡선들로 둘러싸인 영역을 x 2 에 관하여 한 바퀴 회전시킨 회전체의 부피를 구하여라 위 영역을 x 2에 관하여 회전시킨 회전체의 부피는 다음과 같습니다.
예제 3과 비슷하게 중심부의 빈 공간을 빼주어야 합니다. 예제 아래 곡선들로 둘러싸인 영역을 x축에 관하여 한 바퀴 회전시킨 회전체의 부피를 구하여라
위 영역을 x축에 관하여 회전시킨 회전체의 부피는 다음과 같습니다.
예제 아래 곡선들로 둘러싸인 영역을 y축에 관하여 한 바퀴 회전시킨 회전체의 부피를 구하여라 위 영역을 y축에 관하여 회전시킨 회전체의 부피는 다음과 같습니다. 예제 아래 곡선들로 둘러싸인 영역을 y 3 에 관하여 한 바퀴 회전시킨 회전체의 부피를 구하여라 위 영역을 y 3에 관하여 회전시킨 회전체의 부피는 다음과 같습니다. 영역을 y 3에 관하여 회전시키게 되면 도넛처럼 빈 공간이 나오게 됩니다. 이 빈공간을 빼줘야 하기 때문에 다음과 같은 식을 사용하여 회전체의 부피를 계산할 수 있습니다.
이때 R은 바깥쪽 반지름, r은 안쪽 반지름입니다. 이 문제의 경우 다음과 같이 반지름을 구할 수 있습니다.
원기둥의 부피와 겉넓이 구하는 공식
원기둥의 부피는 원모양을 차곡차곡 쌓아 높이만큼 만들어지는 것이므로 원의 넓이에 높이를 곱해주면 됩니다. 겉넓이는 전개도에서 본것처럼 원모양의 밑면 2개와 사각형으로 이루어져 있으므로, 밑면 원넓이에 2배를 하고 옆면 사각형의 넓이를 더해주면 됩니다. 옆면 사각형의 세로는 원기둥의 높이, 가로는 밑면 원의 한바퀴 둘레, 즉 원주입니다. 아래 연습문제점을 2개 만들어봤습니다. 밑면과 높이 값이 주어진 경우 기본 공식을 고민하며 계산하면 됩니다.
두번째 연습문제처럼 밑면의 반지름 값을 주지 않았다면, 원주와 옆면 사각형의 가로길이가 같아야함을 고민하며 반지름을 먼저 구하고 진행하면 됩니다.